Cực trị tự do cực trị có điều kiện
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (78.98 KB, 10 trang )
Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Cực trị và tích phân chiếm một vị trí quan trọng trong tốn học. Lý thuyết của
cực trị và tích phân có liên hệ mật thiết với nhiều lĩnh vực khác nhau của tốn
học. Bên cạnh đó nó cịn có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán học,các lĩnh
vực nghiên cứu và các lĩnh vực khoa học kĩ thuật khác,....Với những lý do trên,
Nhóm 4 dưới sự hỗ trợ của giáo viên hướng dẫn đã quyết định chọn đề tài: “Ứng
dụng của cực trị có điền kiện, ứng dụng cực trị tự do, tích phân hàm kép,
tích phân hàm nhiều biến”
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục tiêu của đề tài là tìm hiểu là tìm hiểu về các ứng dụng của cực trị có điều
kiện, ứng dụng cực trị tự do, tích phân hàm kép, tích phân hàm nhiều biến.
1.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1.1Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là bài toán về ứng dụng của cực trị có điều
kiện, ứng dụng cực trị tự do, tích phân hàm kép, tích phân hàm nhiều biến.
1.2Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu là tích phân, cực trị của hàm nhiều biến.
2.Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu rõ về lí thuyết cực trị và tích phân qua đó tìm ra bài tốn ứng dụng
thực tế.
- Tìm các tài liệu tham khảo từ nhiều nguồn khác nhau dưới sự hướng dẫn của
giáo viên Cô
A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
1.Cực trị tự do
a. Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên miền là một điểm trong . Gọi V là lân cận nào đó của
điểm M, ta nói:
• Hàm đạt cực đại tại điểm M, nếu với
Giá trị f(M) gọi là giá trị cực đại, điểm M, là điểm cực đại.
• Hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại điểm M, nếu với
Giá trị gọi là giá trị cực tiểu, điểm M, là điểm cực tiểu.
b. Điều kiện cần của cực trị Định lý 1.
Nếu hàm số có cực trị tại và tại điểm này nếu tồn tại các đạo hàm riêng (hữu
hạn) thì các đạo hàm riêng này phải bằng không.
c. Điều kiện đủ của cực trị
Định lý 2.
Giả sử là một điểm dừng của hàm số hàm có các đạo hàm riêng cấp 2 tại lân
cận của điểm M0.
Ta đặt:
Khi đó:
2|Page
• Nếu thì hàm số đạt cực trị tại M. Đó là điểm tiểu nếu, là điểm cực đại
nếu .
• Nếu thì hàm số khơng đạt cực trị tại M0.
• Nếu thì hàm số có thể đạt cực trị tại M0, cũng có thể khơng đạt cực trị tại
M0 (M0 cịn gọi là điểm nghi ngờ).
2.Cực trị có điều kiện
Tìm cực trị của hàm số trong đó x, y bị ràng buộc bởi điều kiện (gọi là cực
trị có điều kiện).
Trong bài toán trên điều kiện giải được bài toán cực trị có điều kiện của hàm
hai biến trở thành bài toán cực trị của hàm một biến quen thuộc. Tuy nhiên trong
nhiều trường hợp ta không thể rút ra từ g(x,y)=0.
II.TÍCH PHÂN KÉP
Cho hàm , xác định trong miền hữu hạn D nằm trong mặt phẳng Oxy. Thực hiện
các bước sau:
Bước 1. Chia tùy ý miền D thành , miền n nhỏ (khơng dẫm chồng lên nhau), có
các diện tích tương ứng
Bước 2. Trong mỗi miền D, lấy một điểm tùy ý và tính
Bước 3. Lập tổng
Tổng In gọi là tổng tích phân của hàm trong miền D.
Bước 4. Tìm giới hạn của In, khi sao cho .
Nếu tổng In, tiến tới một giới hạn xác định I không phụ thuộc vào cách chia miền
D và cách chọn điểm M, trong miền D thi giới hạn I được gọi là tích phân kép
của hàm số f (x,y) trong miền D, ký hiệu là
3|Page
Vậy:
Chú ý: Vì tích phân kép khơng phụ thuộc vào cách chia miền D nên ta có thể
chia miền D bởi các đường song song với các trục tọa độ Ox, Oy.
Ta có, do đó có thể viết
B.NỘI DUNG
I. ỨNG DỤNG CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
VD1: Một cửa hàng kinh doanh dự định nhập 10 thùng hàng về bán với hai loại A
và B. Biết rằng cửa hàng bán loại A với giá 5A , loại B với giá 7A. Hãy xác định
số thùng hàng mỗi loại để lợi nhuận là cao nhất . Giả sử hàm tổng chi phí nhập
hàng là: (nghìn USD)
Giải:
Theo đề bài, ta có hàm lợi nhuận
Bài tốn trở thành tìm cực trị của hàm
với điều kiện :
Xét
Xét hệ phương trình :
Đặt
4|Page
Vậy hàm số đạt cực trị tại ;
Vậy cửa hàng cần nhập 5 thùng mỗi loại để có lợi nhuận cao nhất .
VD2: Một nhà nông chăn nuôi gia hai loại gia súc là gà và lợn với tổng số 50
con. Biết hàm chi phí chăn ni của hai loại là: . Hãy xác định số con mỗi loại
để chi phí ni thấp nhất.
Giải:
Gọi số lợn là x , số gà là y.
Theo đề bài:Đây là bài tốn tìm cực trị của hàm
với điều kiện
Xét
Xét hệ pt:
Đặt
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại
Vậy để chi phí chăn ni thấp nhất thì nhà nơng phải ni 20 con lợn và 30 con
gà.
5|Page
II. ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ TỰ DO
VD1: Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm. Cho biết hàm cầu đối với loại sản
phẩm đó như sau: và hàm chi phí là: . Hãy xác định số lượng sản phẩm và giá
bán tương ứng để nhà máy đó thu được lợi nhuận tối đa?
Giải:
Giá bán của mỗi sản phẩm tương ứng sẽ là:
Bài tốn trở thành tìm cực trị của hàm lợi nhuận:
Ta có:
Đặt
Ta có
Vậy hàm lợi nhuận đạt cực đại tại (250,100) và bằng: 230000 (đơn vị tiền tệ)
Giá bán sản phẩm 1 là:
Giá bán sản phẩm 2 là:
VD2: Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng là X (đơn
vị) và Y (đơn vị). Và giá của hai loại sản phẩm tương ứng là:
6|Page
Biết tổng chi phí để sản xuất 2 loại sản phẩm trên là . Vậy công ty nên sản xuất
bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tổng lợi nhuận thu được là lớn nhất?
Giải:
Bài tồn trở thành tìm cực trị của hàm lợi nhuận
Ta có:
Đặt
Do nên hàm N đạt cực đại tại
Vậy số lượng sản phẩm công ty nên sản xuất mỗi loại là :
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN KÉP
VD1: Tính diện tích của hình phẳng :
Giải:
Đặt
y
Khi đó miền D xác định:
y=x
Vậy
y=x
1
Hình 3.1
1
2
VD2: Tính diện tích hình trịn cắt bởi mặt phẳng: của mặt trụ với phương
trình:
O
Giải:
7|Page
x
Hình chiếu của hình trịn lên mặt phẳng
z
Oxy là:
Ta có:
Diện tích hình trịn là :
y
Đặt
Khi đó miền D xác định
Hình3.2
x
IV. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN KÉP HÀM NHIỀU BIẾN
VD1:Tính khối lượng của bản phẳng, biết miền D xác định bởi x2+y2-R2 ≤ 0,
y ≥ 0và khối lượng riêng là
Giải: Áp dụng cơng thức:
Ta có:
Chuyển sang tọa độ cực, dặt
Hình 4.1
được xác định bởi:
Vậy
Xét:
8|Page
Vậy khối lượng của bẳn phẳng là
VD2:Tìm trọng tâm của cung phẳng OM có hàm khối lượng riêng là
và OM là đoạn thẳng nối
Giải:
Phương trình đoạn thẳng OM là:
Ta có:
Ta có
Vậy trọng tâm của cung phẳng OM là
9|Page
C. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1](c.b), Nguyễn Đình Trí. 2009. By Bài tập toán cao cấp tập 2.
[2]Liêm, Nguyễn Xuân. 2012. By Giải tích: Giáo trình lý thuyết và Bài tập có
hướng dẫn giải.
[3]Phạm, Tùng. 2021. Youtube. />v=f7YH9_zWpng.
10 | P a g e
![[Cơ Sở Thiết Kế] Máy Nâng Chuyển - Ts. Trịnh Đồng Tính phần 9 doc](https://media.store123doc.com/images/document/2014_08/02/medium_xnm1406913692.jpg)
