Chuyên đề đại số sơ cấp


Chuyên đề đại số sơ cấp

HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN


Chuyên đề đại số sơ cấp

HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN
Giảng viên hướng dẫn:

TS. Nguyễn Hữu Điển


Chuyên đề đại số sơ cấp

HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN
Giảng viên hướng dẫn:
:

TS. Nguyễn Hữu Điển
Giáp Thị Thùy Dung


Chuyên đề đại số sơ cấp

HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN
Giảng viên hướng dẫn:
:

TS. Nguyễn Hữu Điển
Giáp Thị Thùy Dung
Số điện thoại: 0944520629


Chuyên đề đại số sơ cấp

HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN
Giảng viên hướng dẫn:
:

TS. Nguyễn Hữu Điển
Giáp Thị Thùy Dung
Số điện thoại: 0944520629
Email:


Cấu trúc


Khái niệm

Khái niệm


Khái niệm

Khái niệm
Ký hiệu I (a, b) là một trong bốn tập hợp (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]

trên đường thẳng thực.


Khái niệm

Khái niệm
Ký hiệu I (a, b) là một trong bốn tập hợp (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]
trên đường thẳng thực.
Định nghĩa 1.1.1
Hàm số f : I (a, b) → R được gọi là hàm lồi trên I (a, b) nếu với
mọi x1 , x2 ∈ I (a, b) và mọi số thực α1 , α2 ≥ 0, α1 + α2 = 1, ta có:
α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) ≥ f (α1 x1 + α2 x2 )


Khái niệm

Khái niệm
Ký hiệu I (a, b) là một trong bốn tập hợp (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]
trên đường thẳng thực.
Định nghĩa 1.1.1
Hàm số f : I (a, b) → R được gọi là hàm lồi trên I (a, b) nếu với
mọi x1 , x2 ∈ I (a, b) và mọi số thực α1 , α2 ≥ 0, α1 + α2 = 1, ta có:
α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) ≥ f (α1 x1 + α2 x2 )
Định nghĩa 1.1.2
Hàm số f : I (a, b) → R được gọi là hàm lồi chặt trên I (a, b)nếu
với mọi x1 , x2 ∈ I (a, b), x1 = x2 và mọi số thực
α1 , α2 > 0, α1 + α2 = 1, ta có:
α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) > f (α1 x1 + α2 x2 )



Khái niệm

Ý nghĩa hình học


Khái niệm

Ý nghĩa hình học
y=f(x)

B

y=f(x)
A

a

y

y

A

B

O

b

x


a

C
O

bx


Khái niệm

Ý nghĩa hình học
y=f(x)

B

y=f(x)
A

a

y

y

A

B

O


b

x

a

C
O

bx

Về mặt hình học, f (x) là hàm lồi thì:
- Mọi dây cung nối 2 điểm thuộc đồ thị hàm số y = f (x) thì
hoặc là thuộc hoặc là nằm phía trên đồ thị.
- Nếu d là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) thì d
hoặc là thuộc hoặc là nằm phía dưới đồ thị.


Khái niệm

Ý nghĩa hình học
y=f(x)

B

y=f(x)
A

a


y

y

A

B

O

b

x

a

C
O

bx

Về mặt hình học, f (x) là hàm lồi thì:
- Mọi dây cung nối 2 điểm thuộc đồ thị hàm số y = f (x) thì
hoặc là thuộc hoặc là nằm phía trên đồ thị.
- Nếu d là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) thì d
hoặc là thuộc hoặc là nằm phía dưới đồ thị.
Nếu f (x) là hàm lồi chặt thì mọi dây cung nằm phía trên đồ thị
cịn mọi tiếp tuyến của đồ thị nằm phía dưới đồ thị hàm số.



Các ví dụ


Các ví dụ

a) Hàm y = f (x) = c (c = const) là lồi trên toàn bộ trục số R


Các ví dụ

a) Hàm y = f (x) = c (c = const) là lồi trên toàn bộ trục số R
b) Hàm y = f (x) = x 2 là lồi trên toàn bộ R.


Các ví dụ

a) Hàm y = f (x) = c (c = const) là lồi trên toàn bộ trục số R
b) Hàm y = f (x) = x 2 là lồi trên toàn bộ R.
Thật vậy ∀x1 , x2 ∈ R và mọi cặp số thực α1 , α2 ≥ 0, α1 + α2 = 1
ta đều có:
(x1 − x2 )2 ≥ 0

⇔ α1 α2 (x12 + x22 − 2x1 x2 ) ≥ 0

⇔ x12 α1 (1 − α1 ) + x22 (1 − α2 )α2 ≥ 2α1 α2 x1 x2

⇔ α1 x12 + α2 x22 ≥ α21 x12 + α22 x22 + 2α1 α2 x1 x2
⇔ α1 x12 + α2 x22 ≥ (α1 x1 + α2 x2 )2



Các ví dụ

a) Hàm y = f (x) = c (c = const) là lồi trên toàn bộ trục số R
b) Hàm y = f (x) = x 2 là lồi trên toàn bộ R.
Thật vậy ∀x1 , x2 ∈ R và mọi cặp số thực α1 , α2 ≥ 0, α1 + α2 = 1
ta đều có:
(x1 − x2 )2 ≥ 0

⇔ α1 α2 (x12 + x22 − 2x1 x2 ) ≥ 0

⇔ x12 α1 (1 − α1 ) + x22 (1 − α2 )α2 ≥ 2α1 α2 x1 x2

⇔ α1 x12 + α2 x22 ≥ α21 x12 + α22 x22 + 2α1 α2 x1 x2
⇔ α1 x12 + α2 x22 ≥ (α1 x1 + α2 x2 )2

c) Hàm f (x) = sin x là lõm trên [0, π]


Các ví dụ

a) Hàm y = f (x) = c (c = const) là lồi trên toàn bộ trục số R
b) Hàm y = f (x) = x 2 là lồi trên toàn bộ R.
Thật vậy ∀x1 , x2 ∈ R và mọi cặp số thực α1 , α2 ≥ 0, α1 + α2 = 1
ta đều có:
(x1 − x2 )2 ≥ 0

⇔ α1 α2 (x12 + x22 − 2x1 x2 ) ≥ 0

⇔ x12 α1 (1 − α1 ) + x22 (1 − α2 )α2 ≥ 2α1 α2 x1 x2


⇔ α1 x12 + α2 x22 ≥ α21 x12 + α22 x22 + 2α1 α2 x1 x2
⇔ α1 x12 + α2 x22 ≥ (α1 x1 + α2 x2 )2

c) Hàm f (x) = sin x là lõm trên [0, π]
d) Hàm f (x) = − ln x là hàm lồi chặt trên (0, +∞)


Các ví dụ

a) Hàm y = f (x) = c (c = const) là lồi trên toàn bộ trục số R
b) Hàm y = f (x) = x 2 là lồi trên toàn bộ R.
Thật vậy ∀x1 , x2 ∈ R và mọi cặp số thực α1 , α2 ≥ 0, α1 + α2 = 1
ta đều có:
(x1 − x2 )2 ≥ 0

⇔ α1 α2 (x12 + x22 − 2x1 x2 ) ≥ 0

⇔ x12 α1 (1 − α1 ) + x22 (1 − α2 )α2 ≥ 2α1 α2 x1 x2

⇔ α1 x12 + α2 x22 ≥ α21 x12 + α22 x22 + 2α1 α2 x1 x2
⇔ α1 x12 + α2 x22 ≥ (α1 x1 + α2 x2 )2

c) Hàm f (x) = sin x là lõm trên [0, π]
d) Hàm f (x) = − ln x là hàm lồi chặt trên (0, +∞)
Ví dụ c), d) sẽ được kiểm tra lại trong phần các định lý về hàm lồi.


Một số tính chất cơ bản của hàm lồi



Một số tính chất cơ bản của hàm lồi

Tính chất 1.3.1
Giả sử f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) là các hàm lồi xác định trên
I (a, b).Cho λi > 0 ∀i = 1, n. Khi đó hàm số:
λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) + · · · + λn fn (x)
cũng là hàm số lồi trên I (a, b).


Một số tính chất cơ bản của hàm lồi

Tính chất 1.3.1
Giả sử f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) là các hàm lồi xác định trên
I (a, b).Cho λi > 0 ∀i = 1, n. Khi đó hàm số:
λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) + · · · + λn fn (x)
cũng là hàm số lồi trên I (a, b).
Tính chất 1.3.2
Nếu f (x) là hàm số liên tục và lồi trên I (a, b). Khi đó nếu:
i) g(x) là hàm lồi và đồng biến trên tập giá trị của f (x)
thì g (f (x)) cũng là hàm lồi trên I (a, b).
ii) g(x) là hàm lõm và nghịch biến trên tập giá trị của
f (x) thì g (f (x)) là hàm lõm trên I (a, b).