I H C BÁCH KHOA

MSHV: 11210239

TÀI:
u khi n

ng c a c

c a t m ch nh t ch

ng tham s chính lên ng x

ng tham s

Chuyên ngành: Xây d ng cơng trình dân d ng và cơng nghi p

LU

TP. H CHÍ MINH, tháng 6


C HOÀN THÀNH T I
I H C BÁCH KHOA
- HCM
Cán b

ng d n khoa h c 1: TS. NGUY N H I

Cán b

ng d n khoa h c 2: PGS. TS. NGUY N TH HI

...

Cán b ch m nh n xét 1: TS. NGUY N TH I TRUNG

..

Cán b ch m nh n xét 2: TS. BÙI CÔNG THÀNH

Lu

cb ov t

....

ih

ngày 15 tháng 09
Thành ph n H

m:

(Ghi rõ h , tên, h c hàm, h c v c a H

ng ch m b o v lu

1. PGS. TS. BÙI CÔNG THÀNH

.


2. TS. NGUY N TH I TRUNG
3. PGS. TS. NGUY N TH HI N L

NG

4. TS. NGUY N H NG ÂN
5. TS. H

.
.............................

C DUY..

Xác nh n c a Ch t ch H
ngành sau khi lu
CH T CH H

ng Khoa qu n lý chuyên
c s a ch a (n u có).

NG

PGS. TS. BÙI CÔNG THÀNH

NG KHOA K THU T XÂY D NG

TS. NGUY N MINH TÂM



TR

-

---oOo--Tp. HCM, ngày 02 tháng 07 n m 2012

----------------

c viên:

฀

..................... .

฀

Ngày, tháng, n m sinh: 23/01/1987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .N i sinh:
Chuyên ngành :

........ ............

Khoá (N
1- TÊN

: 2011
:
.............................................

2-


N: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

-

......................

.............................................
-

.....
3-

: 02/07/2012

4-

26/06/2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5-

...................

1

2
)


L IC
Trong kho ng th i gian th c hi n lu

n l c c a b n thân, tôi còn nh

t nghi p th

cs

r t l n c a c a t t c quý th y

cô trong Khoa K thu t Xây d ng, Khoa Khoa h c
hoàn thành lu

ng

ng d ng. Gi

t nghi p, tôi xin bày t lịng bi

c

n:
TS. NGUY N H I
mơn và tr c ti

tài, cung c p tài li u chuyên

ng d n chính cho tơi trong th i gian th c hi n lu

PGS. TS. NGUY N TH HI
ng h


ng d n lu

Quý th

,

i cung c p tài li u chuyên

t nghi p c a tơi.
ng d

c ngành K thu t cơng

trình xây d ng dân d ng và công nghi p; quý th y cô Khoa K thu t Xây
d ng, nh

p cho tôi các ki n th c chuyên môn sâu v chuyên

ngành xây d

ng d

c và cách th c nghiên c u khoa h c.

Quý th

o t i

. H Chí Minh, nh


tr , cung c p cho tơi các thơng tin

c n thi t t q trình d tuy n kì thi Cao h
Cu i cùng, con xin t lòng bi
u ki n t t nh

i h c-

n khi hoàn thành lu
nm

c h c t p và nghiên c u. C

om i
b n bè

ng viên tôi su t quá trình h c t p và nghiên c u.
TP. H Chí Minh, ngày 26 tháng
H c viên

nh


TÓM T T LU
t, t m ch nh t là m t trong nh ng k t c
bi n trên th gi i. B i v y, vi c tìm hi u v

b n c a các lo i k t c u này tr nên

quan tr ng. N i dung c a lu

ng và

c

ng tham s c a t m ch nh

ng có tính chu k trong m t ph
c

:b t

ny0

nyt cos

lý thuy t t m bi n d ng

n. Lo

u ki n biên này d dàng

phân tích; t

ng nh

c h t, d

ng.

m c n t ng quát b c m

ng c a h th ng theo c

nm id

ng

nh
ng tham s chính

khi t n s c a l c kích thích x p x b ng hai l n t n s
ch u t i tr

ng riêng c a h khi
2

. T nh ng k t qu

này, chúng ta s xem xét ng x c a h th ng cho c hai l i gi i t
không t

ng khi t n s c a l

k t qu

c, tác gi s

ch

ng c a m i c


t trên hai

này, tác gi ch xét t m ch nh t v i m t

u ki n biên duy nh t là b n biên t

vùng chính b t

nh

i tác d ng c a nh ng t i tr ng

cd

l n c a von Kármán. Trong lu

nh

n hai v

i d ng ny t

i di n nhau. S

c s d ng ph

ng và

i theo th i gian. T nh ng
n xét c th và nh


ng tham s chính.

xu t nh m h n


ABSTRACT
As is known, rectangular plate is one of the mostly used structures in the
world. Hence, the investigation on the endurance of this structure becomes
important. In this thesis, the author considers two problems: the dynamic
instability and parametric vibration of rectangular plate under in-plane periodic
forces of the form ny t

ny0

nyt cos

t on two opposite edges. The analysis is

based on von Kármán's large-deflection theory. In this thesis, a rectangular plate
with simply-supported along its four edges is considered. This kind of boundary
conditions is easiest to analyze; the plate is assumed to be thin, initially flat and
the plate material is elastic, homogeneous, isotropic. Firstly, based on the firstorder generalized asymptotic method, we have to find the principal region of
instability and the damped response associated with the principal parametric
resonance where the excitation frequency is approximately equal to twice the
natural frequency associated with any particular mode of vibration

2

.


From these results, we will consider the behavior of the system corresponding to
both trivial and nontrivial solutions when the excitation frequency changes with
time. As a result, the author will give specific comments and suggestions for
reducing the effect of every principal parametric resonance.


L
-

u c a riêng b n thân tôi.

- Các s li u, k t qu nêu trong lu

c ai

công b trong b t k cơng trình nào khác.

TP. H Chí Minh, ngày 26 tháng 6
H c viên


NG QUAN ........................................................................................ 1
1.1. T ng quan v

:............................................................................................1

1.2. Tính c p thi t c
1.3. N i dung nghiên c


.................................................................5
ng nghiên c u ...............................................5

LÝ THUY T ............................................................................ 7
2.1. Lý thuy t t m bi n d ng l n ............................................................................7
2.1.1. Các gi thi t khi tính tốn bài tốn t m m ng (gi thi t Kirchhoff) .........8
2.1.2. Quan h gi a bi n d ng và chuy n v .......................................................8
2.1.3. Quan h

ng su t bi n d ng ....................................................................12

2.1.4. Các thành ph n n i l c ............................................................................13
2.

...................................................18

2.2. Lý thuy t v
2.2.1. Lý thuy t v

ng và ng x h n lo n .............................................21
ng (Dynamic stability) và c

ng tham s

chính (Principal parametric resonance).............................................................21
2.2.2. Lý thuy t v

ng x h n lo n (Chaotic behavior) ..................................24
T TÍNH TỐN .............................................................. 29
ng ................................................................ 29


nh l c t i h
3.3. Kh o sát mi n

a t m ch nh t ...................................................33
nh ...................................................................................36

4: MƠ HÌNH TÍNH TỐN VÀ PHÂN TÍCH K T QU .................. 41
4.1. Mơ hình tính tốn ...........................................................................................41
4.2. K t qu tính tốn ............................................................................................42
ng trên mi n t n s ........................................................................42


4.2.2. K t qu

ng x

4.2.3. K t qu

ng x

i t n s l c kích thích ..................................44
l

ng và h s c n nh t ...70

4.3. Phân tích k t qu tính tốn .............................................................................71
T LU N VÀ KI N NGH ............................................................ 73
5.1. K t lu n ..........................................................................................................73
5.2. Ki n ngh ........................................................................................................74

TÀI LI U THAM KH O ..................................................................................... 75
PH N LÝ L CH TRÍCH NGANG ....................................................................... 78
PH L C ................................................................................................................ 79


f : t n s c a l c kích thích
2 f : t n s góc c a l c kích thích
: t n s góc phi th ngun c a l c kích thích

Cm : h s c n nh t
Nm : l

i h n theo lý thuy t tuy n tính

m

:t ns

m

:t ns

ng t do c a t m ch nh t khi không ch u t i tr ng
ng t do c a t m ch nh t ch u t i tr

i trong

m t ph ng
m


: tham s c a l c kích thích (the load parameter)

: góc pha t ng c ng c a l

u hòa

M m : h s phi tuy n b c ba
gi m ch n nh t

am

tr ng thái d ng (Steady-state amplitude)
c

ng (amplitude of the response)

S : tham s
ng (the detuning parameter)
h : chi u dày c a t m
a : c nh ng n c a t m ch nh t
b : c nh dài c a t m ch nh t
R b / a : t s gi a hai c nh c a t m ch nh t
: kh
ng riêng c a t m
i
E

G

t

: h s Poisson

ny (t ) : l c

biên trên m

c nh ng n (l c tham s )

NY (t ) : phi th nguyên c a l c
n y0 : thành ph n l

biên trên m

biên trên m

NY0 : phi th nguyên thành ph n l
n yt : thành ph

l

ng

c nh ng n
c nh ng n

biên trên m
biên trên m

c nh ng n
c nh ng n



NYT : phi th nguyên thành ph

l

ng

biên trên m

ng n

nm : l

i h n trên m

ncr : l

i h n nh nh t trên m

Nm : l

i h n phi th nguyên trên m

b r ng c a t m

Ncr : l

i h n phi th nguyên trên m


b r ng c a t m

b r ng c a t m

Pcr

NYO Ncr : t s l

Dcr

NYT Ncr : t s thành ph n l

Xm , Yn ,

p

,

q

b r ng c a t m

il

i h n nh nh t
ng v i l

: các hàm riêng c a d m

f x, y,t : hàm ng xu t Airy

F X,Y,T : hàm ng xu t Airy phi th nguyên

t : th

ng

T : phi th nguyên th i gian

w1 : chuy n v th c

w2 : v n t c th c
W1 : chuy n v phi th nguyên
W2 : v n t c phi th nguyên

i h n nh nh t

c nh


TÀI:
u khi n

ng c a c

ch nh t ch

ng tham s chính lên ng x c a t m

ng tham s


Ngày nay, nh ng ti n b khoa h c k thu t không ng ng phát tri n nh
ng các nhu c u c a xã h i hi

i. Yêu c

càng thanh m nh và nh càng t t

t ra là nên s d ng các lo i k t c u
b n l i khá cao. Vi c s d ng lo i k t

c u này s t o ra nhi u thách th
u l c thì s

u ki n v kh

nh c a k t c u và ng x c

i tác d ng c a t i

tr ng là các y u t quan tr ng c n xét t i. Bên c
d ng c a t i tr

tc

i tác

n s hi n h u th c t c a các y u t phi tuy n thì

q trình tính tốn càng ph c t


.

ng l c h c phi tuy n liên quan

n hai v

ng x c a k t c u theo th i gian (
v

l n là b t

ng).

ng và

ng l c h c phi tuy n g n

ng và các h s phi tuy
phi tuy n tiêu bi u: phi tuy n hình h c (

n

c ng), phi tuy n kh

tính) và phi tuy n v t li u (gi m ch n). J. H. Poicaré (1854-1912)
c a thuy

ng (quán
c xem là cha


ng phi tuy n mà tr ng tâm c a thuy t này chính là các c ng

ng tham s và k t h p.
V

nh là m t v

b nc

ng và chúng ta ph i làm ch
c u ch ng l i s s
y u

cv tr

c bi t là

nh

ch c ch n s an toàn c a các k t

do m t

nh. Lý thuy t

nh

u quan tr ng c t

i v i các ngành k t c u, không gian, h t nhân, ... L ch s cho th y s s


c a k t c u do m t
lúc thi t k
Narrows (M

nh, do s
s

n các v

c a c

v

nh trong
u Tacoma

t

c bi t trong ngành xây d ng dân

1


d

ng tai n
[1]
Bài toán


nh

c nghiên c u t r t s m. Th

Euler công b k t qu v b t

nh

u, t

c a thanh ch u nén. Sang th k hai

ng ki n m t s phát tri n

t b c c a lý thuy t

nh trong

ng x phi tuy n do bi n d ng l n hay s phi tuy n c a v t li u c
trong n a th k
n

ng c a khuy t t t hình h c
nh c a v tr . Các k t qu lý thuy

qu thí nghi

ik t

i ta th y r ng k t qu thí nghi m kh


nhi u so v i k t qu tính tốn lý thuy
ng r t l n t khuy t t

u l c nh

y, kh

nh c a k t c u ch u

u . Ngồi ra, kho ng th i gian này cịn có s

t l n c a nhi u nhà khoa h

c bi t là các tác gi : Lorenz (1908);

Timoshenko (1910) và Southwell (1914).
Ngoài kh

m t

tác d ng c a t i tr
ng h
l

,k tc

m t

ng nên bài toán


ng c n

y, h th ng s b m t

nh n u m t s

ng và các tham s c a h th

c xem xét. Trong
u ki

c th

ng tham s . Khi s m t

cg i
ng x y ra

c là

ng c a k t c u s khá l n nên k t lu
s nguy hi m cho k t c

ng tham

ng b c.

Nói m t cách t ng quát, v


b t

x y ra: (i) trên nh ng vùng b t
nh

a
u ki n này

c g i là m i quan h t n su t và hi
là c

nh khi ch u

nh tham s c a m t h th ng có th

nh c a không gian tham s ch không t i

m riêng bi t; (ii) t i nh ng t n s khác v i t n s riêng c a h th ng; (iii)
ng th ng góc v i l

(v) v m t tốn h c, l c kích

ng; (iv) v i ngo i l c y

c t i h n và

ng xu t hi

m t h s tùy thu c vào th i gian, hay là tham s
bi u c a b t

nh riêng bi t so v i các v

ng tham s
b t

nh ho

2

o thành m t lo i b t
ng khác.


xu t bài tốn
N. M. Beliaev

ng và c

v

có liên k t kh p

ch u l c nén d c tr

Bolotin gi i thi u bài toán
d ch sang Anh ng

ng c a h
[2]


c s d ng.

,

i b ng ti

c

i m r ng bài toán b t n

nh tham s . Ti
t

u

u hòa theo th i gian: P (t ) P0 P1 cos t ; chính

trong nghiên c u này t "tham s " l

l

ng tham s chính là

Evan-Iwanowski [3]; Neyfeh và Mook [4]
i các cu n sách v các lo i

ng trong nh ng h

c phi


tuy n làm sáng t s quan tr ng c a tính lý thuy t và th c hành do s

ng

tham s

ng,

y, các y u t phi tuy

c bi t là nh ng v n

c xem xét trong h

nc ac

ng tham s .

là các lý thuy t tuy

u quan tr ng c

nh biên gi i các vùng

ý

nh và khơng

nh, và có th cho ra l i gi i theo mi n th i gian mà không th


c

ng theo mi n t n s .
iv ik tc ut

u tiên v t m ch nh t ch u l

s xu t hi
t i tr

[5] th c hi n.
u hòa n m trong m t ph ng t m

ng tham

nh c a t m ch nh t ch u
c nghiên c u b i Bolotin và

Yamaki N and Nagai K [6]. H. Nguyen and G. L. Ostiguy [7], H. Nguyen [8], H.
Nguyen [9] nghiên c u

ng c

u ki

n

y u t phi tuy n c a t m ch nh t s d

n

i i tích. Guan-Yuan Wu

va2 Yan-Shin Shih [10] phân tích

ng c a t m ch

Kazuyuki Yagasaki [11] nghiên c u v

nh t có v t n t.

ng l c h c c a h phi tuy n ch u kích

ng k t h p bên ngồi và tham s k t h
[12] phân tích

ng c a t m ch nh t ch u tác d ng c a l c n m trong m t

ph ng. Wang and Dawe [13] phân tích b t
composite. Nh

ng c a t m ch

b t

nhi u k t qu nghiên c
ng c a nh ng t m ch nh

c quan tâm nhi u h n,

c công b

i nh t, tr

ng phi tuy n và

nh t b
3

nh

ng c a B. Kh. Eshmatov [14].

I. Shufrin, O. Rabinovitch, M. Eisenberger [15] phân tích
c a các t m ch

nh t

nh phi tuy

i


Ramachandra, Sarat Kumar Panda [16] nghiên c u v

ng c a t m

composite ch u tác d ng c a t i tr ng không phân b n m

u trong m t ph ng t m.

Hi


gi i quy

phát tri n ngày càng m nh m
c nghiên c

ng l

c

c

ng l c

ng l c h c phi tuy n.

,

c bi

áp d

(2006). Nguy n Th Hi
khung theo tiêu chu

u

ng l c h c. Nguy n Th Hi

Hu nh Qu c Hùng [17] nghiên c u

c

nh

n H i và

ng t m m ng b

ng l c.
V

th

ng l c h c phi tuy n là ng x h n lo n (Chaotic

behaviour) là m t ph n quan tr

nv

nh tính

ng chuy

k t c u theo th i gian và kh
ng chuy
có th

d

ng x y ra bên trong


ng chuy

ng c a h th

ng. Khi bi t

i tác d ng c a l

u khi n sao cho h th ng t

ng b t

o c a vi c tìm hi u tính ch t
d ng c

ng h c c a k t c u. Nó

i ta

nh s tr nên

nh.

nh tính c a h th

i tác

ng l c kích thích.


L ch s phát tri n c a h n lo n h c b
a chuy
S.Smale cho th y r

u khi J. H. Poincaré (1854-1912)

ng các thiên th

n 1962 thì

p h p gi i h n c a h n lo

tác nhân gây hút l n

khái ni m

u tiên xu t hi n trên tài li u toán h c c a G. D. Birkhoff
t hi

t s

tác gi

Charpentier, N. Levinson, S.Smale góp ph n phát tri n lý thuy t và th c nghi m v
h n lo

c bi t, kho

tiên c a h th


ng h

, m t trong nh ng s mô ph ng s
c th c hi n b

n ra tác

nhân gây hút h n lo n trong m t mơ hình cho các dịng khơng khí. Nh
u nghiên c u v

ng l c h c h n lo

ng l c h c h n lo n c a các t
Kuang Chen, Hsin-Yi Lai [19] nghiên c u v
4

u

n
[18]

i nh t. Yen-

-

ng l c h c h n lo n và phân nhánh


cho t m bi n d ng l n ch nh t t
nghiên c u ng x


im in

t; Yen-Liang Yeh [20]

ng h c h n lo n và phân nhánh c a t m ch nh t t

ng v i m i n

t. G

c

t, M. Sayed A.A. Mousa [21]

b c hai c a t m composite nhi u l p m

i nh ng s

Wei Zhang, Jean W. Zu [22] nghiên c

px

ng k t h p và

ng l c h c h n lo n trong chuy

ngoài m t ph ng c a vùng an toàn v i chuy

i nh t b


ng

ng tham

s .
Ngoài ra,

Vi t Nam, ba tác gi Nguy

o, Tr n Kim Chi, Nguy n

i cu n sách Nh

ng l c h c phi tuy n và chuy n

Các lo i k t c u thanh m nh, nh

b n khá cao ngày nay s d ng

ng h

n [23].

nhi u trong k thu

c bi t là k t c u t m, ngoài kh

c ak tc


nh nên vi c tìm ra các vùng b t

hình k t c u t

i tác d ng c a t i tr

u l c cịn có ng x
nh

ng c a mơ

n

ng c a các y u

t phi tuy n s cho k t qu g n v i vi c s d ng k t c u trong th c t . Ngoài ra, lý
thuy t tính tốn k t c u t m m ng hi n nay v

nh trong vi c xét nh

ng c a các y u t phi tuy n nên chúng ta c n có nhi u nghiên c u
n vi c hoàn thi n lý thuy t tính tốn k t c u d ng t

a

c bi t là k t c u t m

m ng ch nh t có bi n d ng l n.

a. N i dung nghiên c u:

Xét m t t m ch nh
d ng n t

nyo nyt cos

ng h p ch u tác d ng c a t i tr

t trong m t ph ng t m Hình 1.1, v i

ng có

là m

u

hịa v i chu k T.
u c

t ra là tìm các vùng

c a k t c u theo th i gian
theo th i gian có xét
h

nh và b t

ng th i d

nh c a t m; xem xét ng x
ng chuy


n y u t phi tuy n c a b n thân k t c u
u khi n h th ng t tr ng thái b t

nh.
5

ng c a t m
ng
nh v tr ng thái


Hình 1.1. Mơ hình t m ch u tác d ng c a l c tham s
ng nghiên c u:
ng là các t m ch nh

c hai c nh l

t là b, có chi u

dày h ch u tác d ng kích thích trong m t ph ng k t h p c l
hai biên c nh ng
ph ng
nh t

i di n nhau Hình 1.1. T

c th a nh n là t m m ng,

u; v t li u ch t o c a t m là v t li u

u ki n biên c a t t c b

ng theo

u là liên k t t a

i

ng

ng

n. Lý thuy t dùng

trong phân tích t m theo lý thuy t bi n d ng l n c a von Kármán l y t các gi i h n
c a hàm ng su t f
chúng ta s

võng w. Nh v y, mu n bi t t m làm vi c nh th nào,

i tìm hi u c s lý thuy t dùng

6

tính tốn phân tích.


Lý thuy t k t c u t
hai lý thuy t v t
thuy t t m c

t

c nghiên c u t cu i nh

a th k 19. Có

c ch p nh n và s d ng r ng rãi là: lý thuy t Kirchhoff (lý
n) và lý thuy t Mindlin Reissner (lý thuy t t m dày). Các lý thuy t

c trình bày trong rõ trong cu n sách Theory of Plates and Shells [24]

c a tác gi S. Timoshenko và S. Woinowsky-Krieger; Stresses in Plates and ShellsSecond edition c a tác gi Ansel C. Ugural [25] và m t s cu n sách khác. Trong
lu

, tác gi ch tóm t t lý thuy t nh m v n d

tính toán cho

t t m m ng bi n d ng l n theo von Kármán.

Hình 2.1. Mơ hình t m ch u tác d ng c a l c kích thích tham s
2.1. Lý
Lý thuy t t m m ng bi n d ng l

c G. R. Kirchhoff phát tri n và công b

von Kármán phát tri n lý thuy t này và gi i thi u hai
nc at mg

von Kármán


Hình 2.2. Mơ hình t m m
T m là v t th
c c a hai

n

ho c hình tr có chi u dày h nh
i. M t ph ng n m gi a và các

7

t nhi u so v i
u hai m t bên


ic at

c g i là m t trung bình c a t m. Khi ch u u n m t trung

bình c a t m b

Giao tuy n c a m t trung bình và các m t biên c nh t m

c g i là c nh biên c a t m (hay chu vi t m).
c th a nh n là m ng và ph ng
v t li u

i,


ng nh t và

là liên k t t a

ng nghiên c u trong lu n
u; v t li u ch t o c a t m là

ng

u ki n biên c a t t c b

u

n.
Kirchhoff)

Khi tính tốn t m m

a. Gi thi t v

i ta s d ng các m t s gi thi t v t m ch u u n

n th ng pháp tuy n:

n th ng vng góc v i m t

trung bình c a t m s cịn th ng và vng góc v i m t trung bình khi ch u u n và
dài c

i.


- T gi thi t này d th y r ng các góc vng t o b i các ph n t th ng vng
góc v i m

c tr c z) v i các tr c x, y v n cịn là góc

vng trong q trình bi n d

y khơng có s

t trong các m t ph ng

Nói cách khác ta có:

-

dài c

bi n d

yz

0

xz

0

n th


i nên d th y r ng

z là b ng 0:

0

z

b. Gi thi t v m t trung bình: t i m t trung bình t m khơng h có bi n d ng
kéo, nén hay t
T

t. Khi b u n m t trung bình là m t trung hòa.
th y trên m t trung bình, các chuy n v :
u0

c. Gi thi t v s

v0

0 hay u z

0

vz

0

0


a các l p c a t m: s

a các l p

song song v i m t trung bình có th b qua.
T c là ng su t pháp

z

có th b qua (vì là khá nh so v i

a. Bài toán t m ch u u n

8

x

và

y

).


Trong không gian hai chi u (x,y) các thành ph n bi n d ng:

u
;
x


x

v
;
y

y

xy

yx

u
y

v
x

(2.1a)

Hình 2.3. Bi n d ng dài và bi n d ng góc
Trong khơng gian 3 chi u có thêm 3 thành ph n bi n d ng:

w
;
z

z

xz


u
z

zx

w
;
x

yz

zy

Hình 2.4. Mơ hình t m có chi

v
z

w
y

(2.1b)

c và sau khi bi n d ng

Trong gi thi t tính toán k t c u t m (gi thi t a và c ), gi thuy t m t ph ng
m,n v n ph

d ng c t th


c và sau khi ch u bi n d ng u
ng

xz

chi u dày c a t

và

yz

n

nh

nt

i nên bi n d

z

ng th i,
b qua.

n các bi n d ng chính trong m t ph ng (x,y
v y, ta nh

c k t qu


sau:

9


u
;
x
0;

x

z

v
;
y
0;
xz

y

u
y

xy

yz

v

x

(2.2)

0

v i w w x, y . Theo tính ch t quan h hình h c chúng ta nh n th y:

u

z

w
và v
x

Th (2.3) vào (2.2) ta nh

cong
c

w
y

(2.3)

c k t qu :
2

2


w
z 2;
x

x

z

w
z 2;
y

y

2

2z

xy

c a m t m t ph

w
x y

l c as

(2.4)
i góc d c


ng cong.

1
rx
1
ry
1
rxy

x

w
x

x

y

w
y

y

x

w
y

(2.5)


xy

T (2.4) và (2.5) ta có m i liên h
x

z x;

y

z y;

xy

2z

xy

(2.6)

b. Bài tốn t m ch u tác d ng c a l c m t biên:
Xét m t ph n t t m (dxdy) t i m
t

m n m gi a m t ph ng trung hòa c a

i tác d ng c a t i tr ng tác d ng, ph n t th ng AB b d ch chuy n và tr

thành A'B'.


Hình 2.5. Mơ hình ph n t b bi n d ng do chuy n v
10


Vì ph n t n m trên m t ph ng trung hòa gi a t m nên ng su t khơng xu t
hi
th

dx

ng th i, hình chi u c a A'B'

ng w là

w
dx
x

n v

u dài A'B'
2 1/ 2

w
dx
x

2

dx


t qu bi n d

1
dx
2

w
x

2

dx ...

i c a phân t dx
1
2

x

w
x

2

(2.7)
c bi n d

1
2


y

w
y

y

2

(2.8)

tìm bi n d ng c t do chuy n v w gây ra, ta xét m t phân t nh
t là c a OA và OB l

2.5 (b). Ta nh n th y chuy n v l

2 chính là bi n d ng c

O' B' . S chênh l ch gi a góc A' O' B' và góc
ng v i chuy n v w

nh s chênh l ch, chúng ta xem xét m t ph ng

w y sao cho m t ph ng BO'
A'
1

BO'
A' , xoay m t ph ng này b i m t góc nh

1
trùng v i m t ph ng B' O' A'

t là O' A' và

m B1 di chuy

n v

m C

y,

chuy n v :

w
dy
y

B1C
và góc nghiêng c a BC
v i B1B' là góc nh
1

Góc CO' B'

w x . T tam giác BCB'
ta th y:
1
w w

dy
x y

CB'
n d ng c

CO' B'

11

(2.9)

(2.10)
ng do chuy n v w gây ra:

w w
x y

(2.11)


c. Bi n d ng c a t m khi xét bi n d ng l n theo von Kármán
i ta th y r ng khi xét m t t m m ng bi n d ng l n s t n t i c hai bi n
d ng k

t h p hai bi n d

c k t qu bi n d ng c a t m

2


x

u
x

1
2

w
x

y

v
y

1
2

w
y

v
x

w w
x y

u

y

xy

2

(2.12)

a. Bài tốn t m ch u u n
Trong khơng gian ba chi u.

nh lu t Hooke ta có m i quan h gi a ng

su t và bi n d ng:
x

y

z

1
E
1
E
1
E

xy
x


y

z

xy

y

x

z

yz

z

x

y

xz

G
yz

G
xz

G


v i
i

E

là h s Poisson

G

t

E
2 1

G
Mà theo gi thuy t t m m ng ta có
z

xz

yz

Th

0

c hàm ng su t theo bi n d ng

12


(2.13)


E
x

1

2

x

y

2

y

x

E
y

1
G

xy

(2.14)


xy

b. Bài toán t m ch u tác d ng c a l c m t biên:
theo

nh lu t Hooke ta có m i quan h gi a ng su t và bi n d ng

1
Nx
Eh
1
Ny
Eh
Nxy

x

y

xy

Ny
Nx

(2.15)

Gh

c ng su t theo bi n d ng


Eh

Nx

1

2

x

y

2

y

x

Eh

Ny

1
Gh

Nxy

(2.16)

xy


2.1.4
a. Bài toán t m ch u u n
Lúc này trong t m t n t i mômen và l c c t. K t h p (2.6) và (2.14) ta có:

Ez
x

Ez
x

2

1

y

1

Ez
y

xy

Ez
y

2

1

Ez
1

2

xy

x

1

Ez
1

G i M x là mơ men u n trên m

2

2

w
x2

2

2

2

w

y2

2

w
x y
chi u dài. Ta có:

h/ 2

M xdy

h/ 2

z xdydz dy
h/ 2

z xdz
h/ 2

13

w
y2
w
x2

(2.17)



hay
h/ 2

Mx

z xdz
h/ 2

c k t qu

Mx
My
M xy
Và các giá tr l c c

x

h/ 2

(2.18)

zdz

y
h/ 2
xy

ng
h/ 2


Qx
Qy

xz
h/ 2

y, ta nh n th y m t v

x

m ng chúng ta b qua các bi n d ng

Qx và Qy thì khơng th b

(2.19)

dz

yz

thuy t tính tốn t m

và

xz

ng

yz


u này nh

Th

m b o cho h l

c cân b ng.

c

Mx

D

My

D

x

y

y

x

D
D

2


w
x2

2

2

2

w
y2

w
y2

w
x2

(2.20)

2

M xy

D 1

xy

D 1


w
x y

v i

Eh3
12 1

D
ng su

2

bi u di n theo mômen
x

12M x z
h3
12M y z

y

h3
12M xy z

xy

h3


14

(2.21)