TNU Journal of Science and Technology

227(02): 178 - 185

DETERMINATION OF A TIME - DEPENDENT TERM IN THE RIGHT
HAND SIDE OF LINEAR PARABOLIC EQUATIO NS WITH ROBIN
BOUNDARY CONDITION FROM BOUNDARY OBSERVATIONS
Bui Viet Huong*
University of Transport and Communications

ARTICLE INFO
Received: 08/12/2021
Revised: 28/02/2022
Published: 28/02/2022

KEYWORDS

ABSTRACT
We propose a variational method for determining a time-dependent
term in the right hand side of parabolic equations with Robin
boundary condition from boundary observations. We have shown the
formula for functional to be minimized gradient via an adjoint
problem. The direct problem is discretized by the finite difference
methods and the variational problem is solved by the conjugate
gradient method and Tikhonov regularization.

Inverse problems
Ill-posed problems
Boundary observations
Finite difference methods
Conjugate gradient methods

XÁC ĐỊNH THÀNH PHẦN PHỤ THUỘC THỜI GIAN
TRONG VẾ PHẢI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN TỪ QUAN SÁT TRÊN BIÊN
Bùi Việt Hương
Trường Đại học Giao thơng Vận tải, Hà Nội

THƠNG TIN BÀI BÁO
Ngày nhận bài: 08/12/2021
Ngày hồn thiện: 28/02/2022
Ngày đăng: 28/02/2022

TỪ KHĨA
Bài tồn ngược
Bài tốn đặt khơng chỉnh
Quan sát biên
Phương pháp sai phân hữu hạn
Phương pháp gradient liên hợp

TĨM TẮT

Chúng tơi đề xuất phương pháp biến phân cho bài toán xác
định thành phần phụ thuộc thời gian trong vế phải phương
trình parabolic với điều kiện biên Robin từ quan sát trên biên.
Chúng tôi đưa ra cơng thức tính gradient của phiếm hàm cần
cực tiểu hóa dựa trên bài tốn liên hợp. Bài tốn thuận được rời
rạc bằng phương pháp sai phân hữu hạn, bài toán biến phân
được giải bằng phương pháp gradient liên hợp kết hợp với
phương pháp chỉnh Tikhonov.


DOI: />*

Corresponding author. Email:



178

Email:


TNU Journal o f Science and Technology

✶

227(02): 178 - 185

●✐ỵ✐ t t

t ỗ tr q tr tr✉②➲♥ ♥❤✐➺t ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
tr♦♥❣ ✈á♥❣ ✺✵ ♥➠♠ q✉❛✳ ▼➦❝ ❞ò ❝â ❦❤→ ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ t tỗ t t
ờ ❝❤♦ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥✱ ♥❤÷♥❣ ❞♦ t➼♥❤ ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ❝â t❤➸ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✱
♥➯♥ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❣➛♥ ✤➙② ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❦ÿ s÷ ✤➦t ❧↕✐ ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❝❤ó♥❣ ✭①❡♠ ❬✶❪✱ ❬✷❪✱ ❬✸❪✱ ❬✹❪✮✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ❣✐ỵ✐ ♥ë✐ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
Rn ✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ ∂Ω ❧➔ ❜✐➯♥ ❝õ❛ Ω✱ Q := Ω × (0, T ] ✈➔ S := ∂Ω × (0, T ]✱ ✈ỵ✐ T > 0✳ ❳➨t ❜➔✐
t♦→♥ ❣✐→ trà ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❘♦❜✐♥

ut − ∆u = f (t)h(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ Q

✭✶✳✶✮


u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω
∂u
+ σu = ψ(x, t), (x, t) ∈ S
∂ν

✭✶✳✷✮
✭✶✳✸✮

Ð ✤➙②✱ ν ❧➔ ✈➨❝ tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✤ì♥ ✈à ♥❣♦➔✐ tr➯♥ S ✳ ❱➔ f (t), h(x, t), g(x, t), u0 (x), ψ(x, t) ❧➔
❝→❝ ❤➔♠ ❧➛♥ ❧÷đt t❤✉ë❝ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ L2 (0, T ), L2 (Q), L2 (Ω), L2 (S)✳ ❱➔ σ ❧➔ ❤➔♠ ♥➡♠ tr♦♥❣
❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ L∞ (S) ✤÷đ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐ tr➯♥ S ✳
❇➔✐ t♦→♥ t❤✉➟♥ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ u ❦❤✐ ❝→❝ ❤➺ sè ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✮ ✈➔ ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥
u0 , ψ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ f, h, g ✤➣ ❜✐➳t✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥❣÷đ❝ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✈➳ ♣❤↔✐ ❦❤✐ ♠ët sè ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ❜ê s✉♥❣ tr➯♥ ❧í✐ ❣✐↔✐ u ✤÷đ❝ ❝❤♦ t❤➯♠ ✈➔♦✳
❚r♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷đ❝✿ ❳➙② ❞ü♥❣ ❧↕✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ♣❤ư t❤✉ë❝
t❤í✐ ❣✐❛♥ f (t) tr♦♥❣ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✭✶✳✶✮ ✕ ✭✶✳✸✮ tø ❞ú ❦✐➺♥
q✉❛♥ s→t tr➯♥ ❜✐➯♥
u|S = ϕ,
✭✶✳✹✮
✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ t♦→♥ tû q✉❛♥ s→t ϕ t❤✉ë❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ L2 (S)✳
✣➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷đ❝✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ❜➡♥❣ ❝→❝❤
❝ü❝ t✐➸✉ ❤♦→ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠
1
γ
Jγ (f ) = ||u(f ) − ϕ||2L2 (S) + ||f − f ∗ ||2L2 (0,T ) ,
2
2
✈ỵ✐ γ > 0 ❧➔ t❤❛♠ sè ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✱ f ∗ ∈ L2 (0, T ) ❧➔ ♠ët ❞ü ✤♦→♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ❝õ❛ f ✳
❈❤ó♥❣ tỉ✐ ♠✉è♥ ♥❤➜♥ ♠↕♥❤ r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐

❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tr✉②➲♥ ♥❤✐➺t ♥❣÷đ❝ ✭①❡♠ ❬✷❪✱ ❬✺❪✱ ❬✻❪✮ ✈➔ ❝❤ù♥❣ tä ♥â r➜t ❤ú✉ ❤✐➺✉✳
✣➸ ❧➔♠ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✱ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ✭✷✳✹✮ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✈➔ ✤÷❛ r❛
❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❝❤♦ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤đ♣✳ ❙❛✉ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐
rí✐ r↕❝ ❤♦→ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥ ỳ rỗ t tố ữ rớ r
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣r❛❞✐❡♥t ❧✐➯♥ ❤đ♣✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ sè ❝❤♦ t❤➜② ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❧➔
✤ó♥❣ ✤➢♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ sè ❧➔ ❤ú✉ ❤✐➺✉✳


179

Email:


TNU Journal o f Science and Technology

✷
✷✳✶

227(02): 178 - 185

❑➳t q
t t

rữợ ữ r ổ tự ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✕ ✭✶✳✸✮✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣
✈✐➺❝ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ ✤÷đ❝ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜✐➯♥ ❜❛♥
✤➛✉ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ❈❤♦ V

❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ❑➼ ❤✐➺✉ W (0, T ) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t

t ỗ tt y L2 (0, T ; V )✱ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ✭t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ♣❤➙♥ ❜è✮ y ∈ L2 (0, T ; V ∗ )
✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
T

y

=

W (0,T )

y(t)

2
V

+ y (t)

2
V∗

1/2

dt

.

0

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ W (0, T ) = {y : y ∈ L2 (0, T ; V ), y ∈ L2 (0, T ; V )} ổ rt ợ t
ổ ữợ

T

u, v

=

W (0,T )

T

u(t), v(t)

V

+

0

u (t), v (t)

V∗

dt.

0

✣➸ ✤÷❛ r❛ ✤→♥❤ ❣✐→ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✕ ✭✶✳✸✮✱ trữợ t ú tổ
ừ t tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ W (0, T )

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳ ❍➔♠ u ∈ W (0, T ) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✲ ✭✶✳✸✮ ♥➳✉

✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠ t❤û η ∈ L2 (0, T ; H 1 (Ω)) t❛ ✤➲✉ ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝
T

ut , η

H 1 (Ω)) ,H 1 (Ω)

∇u∇ηdxdt +

+

0

Q

=

σuηdsdt
S

(f h + g)ηdxdt +
Q

✭✷✳✶✮

ψηdsdt
S

✈➔ u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Q✳ ❚❛ ❝â ✤→♥❤ ❣✐→ s❛✉✿


✣à♥❤ ỵ y W

1,0
2 (Q)

❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✲ ✭✶✳✸✮✳ ❑❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠

y t❤✉ë❝ ổ W (0, T )

ỵ ②➳✉ y ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✲ ✭✶✳✸✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤→♥❤ ❣✐→ ❞↕♥❣
y

W (0,T )

≤ cw

fh

L2 (Q)

+ g

L2 (Q)

+ ψ

L2 (S)

+ u0


L2 (Ω)

,

✭✷✳✷✮

✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè cw > 0 ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ (f, g, u0 )✳ ❍❛② ♥â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ →♥❤ ①↕ (f, g, u0 ) → y
①→❝ ✤à♥❤ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ tø ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ L2 (Q) × L2 (Σ) × L2 (Ω) ✈➔♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
W (0, T ) ✈➔ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ →♥❤ ①↕ ✤â ✈➔♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ C([0, T ]; L2 (Ω))✳


180

Email:


TNU Journal o f Science and Technology
✷✳✷

227(02): 178 - 185

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥

❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✲ ✭✶✳✸✮✳ ❱➻ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ u(x, t) ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❤➔♠ f (t) ♥➯♥ t❤❛②
✈➻ ❦➼ ❤✐➺✉ u(x, t, f ) t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ u(f ) ❤♦➦❝ u(f, u0 , ψ) ✤➸ ♥❤➜♥ ♠↕♥❤ sü ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❤➔♠
f ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ u✳ ✣➸ ①→❝ ✤à♥❤ f ✱ t❛ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤♦→ ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠

J0 (f ) =

1

u(f ) − ϕ
2

✭✷✳✸✮

2
L2 (S)

tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ L2 (S)✳ ❱➻ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ J0 (f ) ❦❤æ♥❣ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ ❝â
t❤➸ ❝â ♥❤✐➲✉ ♥❣❤✐➺♠ ♥➯♥ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✱ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛
♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈

Jγ (f ) =

1
u(f ) − ϕ
2

2
L2 (S)

+

γ
f − f∗
2

✭✷✳✹✮

2

L2 (0,T )

✈ỵ✐ γ > 0 ❧➔ t❤❛♠ sè ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✱ f ∗ ∈ L2 (0, T ) ❧➔ ♠ët ❞ü ✤♦→♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ❝õ❛ f ✳ ❚❛
t❤➜②✱ ♥➳✉ f > 0 t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ Jγ (f ) ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t✳
❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤đ♣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✕ ✭✶✳✸✮ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉
✭✷✳✺✮

−pt − ∆p = 0, (x, t) ∈ Q

✭✷✳✻✮

p(x, T ) = 0, x ∈ Ω
∂p
+ σu = u(f ) − ϕ, (x, t) ∈ S
∂ν

✭✷✳✼✮

❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤ê✐ ❝❤✐➲✉ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✭✷✳✺✮ ✕ ✭✷✳✼✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t tr ổ
W (0, T )

ỵ P❤✐➳♠ ❤➔♠ J

γ

❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ♥â ∇Jγ (f ) ❝â ❞↕♥❣
✭✷✳✽✮

h(x, t)p(x, t)dx + γ(f (t) − f ∗ (t)),


∇Jγ (f ) =
Ω

✈ỵ✐ p(x, t) ❧➔ ừ t ủ
rữợ t ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤÷❛ ✈➔♦ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ S : L2 (0, T ) → L2 (S)
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
S(f ) = u(f, 0, 0)|S .

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿

❱ỵ✐ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ δf ∈ L2 (0, T ) ❝õ❛ f ✤õ ♥❤ä✱ t❛ ❝â

1
1
u(f + δf ) − ϕ 2L2 (S) − u(f ) − ϕ 2L2 (S)
2
2
1
1
= u(f + δf ) − u(f ) + u(f ) − ϕ 2L2 (S) − u(f ) − ϕ
2
2

J0 (f + δf ) − J0 (f ) =



181

2

L2 (S)

Email:


TNU Journal o f Science and Technology

=

1
S(δf ) + u(f ) − ϕ
2

2
L2 (S)

227(02): 178 - 185

−

1
u(f ) − ϕ
2

2
L2 (S)

1
S(δf ) 2L2 (S)
2

= S(δf ), u(f ) − ϕ L2 (S) + o δf L2 (0,T )
= S(δf ), u(f ) − ϕ

L2 (S)

+

tr♦♥❣ ✤â✱ δu(f ) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❜➔✐ t♦→♥
✭✷✳✾✮

δut − ∆δu = δf (t)h(x, t), (x, t) ∈ Q

✭✷✳✶✵✮

δu(x, 0) = 0, x ∈ Ω
∂δu
+ σu = 0, (x, t) ∈ S
∂ν

✭✷✳✶✶✮

❙û ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ●r❡❡♥ ✭①❡♠ ỵ ừ t ✭✷✳✺✮ ✕ ✭✷✳✼✮
✈➔ ✭✷✳✾✮ ✕ ✭✷✳✶✶✮ t❛ ❝â

u(δf, 0, 0) u(f ) − ϕ dsdt

δf h(x, t)p(x, t)dxdt =
Q

S


S(δf ) u(f ) − ϕ dsdt

=
S

= S(δf ), u(f ) − ϕ

2
L

(S) + o δf

L2 (0,T )

❉♦ ✤â t❛ ❝â

J0 (f + δf ) − J0 (f ) =

δf h(x, t)p(x, t)dxdt
Q

=

h(x, t)p(x, t)dx, δf
Ω

+ o δf

L2 (0,T )


L2 (0,T )

❱➟② J0 (f ) ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✈➔ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ♥â ❝â ❞↕♥❣

∇J0 (f ) =

h(x, t)p(x, t)dx
Ω

✈ỵ✐ p(x, t) ❧➔ ♥❣✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✭✷✳✺✮ ✕ ✭✷✳✼✮✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮ ♠æ t↔
❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈ Jγ (f )✳
❇➔✐ t♦→♥ t❤✉➟♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤đ♣ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❇➔✐
t♦→♥ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣r❛❞✐❡♥t ủ


Pữỡ rt ủ

ú tổ ợ t ữỡ ♣❤→♣ ❣r❛❞✐❡♥t ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✿


182

Email:


TNU Journal o f Science and Technology

227(02): 178 - 185


ữợ
k = 0 trữợ ❜❛♥ ✤➛✉ f 0 ✳
✶✳✷✳ ❚➼♥❤ U 0 (f 0 ) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➟♥



Ut0 − ∆U 0 = f 0 (t)h(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ Q,


 0
U (x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω,


∂U 0



+ σU 0 = ψ(x, t), (x, t) ∈ S.
∂ν
✶✳✸✳ ❚➼♥❤ r˜0 = U 0 (f 0 ) − ϕ = U 0 x, t; f 0 ) − ϕ ✈ỵ✐ ϕ = uex (x, t; f 0 )✱ tr♦♥❣ ✤â uex ❧➔ ♥❣❤✐➺♠
❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✕ ✭✶✳✸✮✳
✶✳✹✳❚➼♥❤ r0 = −∇Jγ (f 0 ) ❝❤♦ ❜ð✐ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮✱ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥
❧✐➯♥ ❤ñ♣✳



−p0t − ∆p0 = 0, (x, t) ∈ Q,


 0

p (x, T ) = 0, x ∈ Ω,


∂p0



+ σu = u(x, t; f 0 ) − ϕ, (x, t) S.

t d0 = r0

ữợ n = 0, 1, 2, ... ✷✳✶✳ ❚➼♥❤ Adn = U n (dn ) = U n (x, t; dn )✱ tr♦♥❣ ✤â U n (x, t; dn )
❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➟♥ ✈ỵ✐ f = dn ✳
|| rk ||2L2 (0,T )
✷✳✷✳ ❚➼♥❤ αn =
.
||Adn ||2L2 (0,T ) + λ ||dn ||2L2 (0,T )
✷✳✸✳ ❈➟♣ ♥❤➟t fn+1 = fn + αn dn .
✷✳✹✳ ❚➼♥❤ r˜n+1 = r˜n + αn Adn .
✷✳✺✳ ❚➼♥❤ ❣r❛❞✐❡♥t rn+1 tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣✳



−pn+1
− ∆pn+1 = 0, (x, t) ∈ Q
t


 n+1
p (x, T ) = 0, x ∈ Ω,



∂pn+1



+ σu = u(x, t; f n ) − ϕ, (x, t) ∈ S.
∂ν
✷✳✻✳ ❚➼♥❤ βn =

||rn+1 ||2L2 (0,T )

.
||rn ||2L2 (0,T )
✷✳✼✳ ❈➟♣ ♥❤➟t dn+1 = rn + βn dn .
◗✉→ tr➻♥❤ ❧➦♣ ð tr➯♥ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ tö❝✳ ✣➸ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠
Jγ (f )✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t✐➳♥ ❤➔♥❤ rí✐ r↕❝ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➟♥ ✭✶✳✶✮ ✕ ✭✶✳✸✮✱ rí✐ r↕❝ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ Jγ (f )✱ s❛✉
✤â ①➙② ❞ü♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤đ♣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✤➸ t➼♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝❤♦ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ rí✐ r↕❝ ♥➔②✳ ❇➔✐
t♦→♥ t❤✉➟♥ ✤÷đ❝ rí✐ r↕❝ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤ú✉ ❤↕♥✳


183

Email:


TNU Journal o f Science and Technology
✷✳✹

227(02): 178 - 185


❱➼ ❞ư sè ♠✐♥❤ ❤♦↕

❈❤ó♥❣ tỉ✐ ❧➟♣ tr➻♥❤ ✈➼ ❞ư sè ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ t❤✉➟t t♦→♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♠ët ❝❤✐➲✉✳ ❳➨t ♠✐➲♥
Ω = (0, 1) ✈➔ T > 0✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr✉②➲♥ ♥❤✐➺t ♠ët ❝❤✐➲✉ ❝â ❞↕♥❣

ut − uxx = f (t)h(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ (0, 1) × [0, T )
u(x, 0) = u0 (x), x ∈ (0, 1)
−ux (0, t) + u(0, t) = g1 (t), t ∈ [0, T )
ux (1, t) + u(1, t) = g2 (t), t ∈ [0, T )
❈❤ó♥❣ tỉ✐ t➻♠ ❧↕✐ ❤➔♠ f (t) tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ f (t) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ (0, 1) ✈➔ f (t) ❧➔
♠ët ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ (0, 1)✳ ❚r♦♥❣ ❝↔ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ Uex ✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
❜❛♥ ✤➛✉ u0 (x) ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ g1 (t), g2 (t) ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉

Uex = sin(πt) cos(x − t) (x, t) ∈ (0, 1) × [0, T )
u(x, 0) = 0, x ∈ (0, 1)
g1 (t) = sin(πt) sin(−t) + cos(−t) , t ∈ [0, T )
g2 (t) = − sin(πt) sin(1 − t) + cos(1 − t) , t ∈ [0, T )
❼ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ f (t) = sin(t) ❧➔ ❤➔♠ trì♥✳ ❚❛ ❝â ❦➳t q✉↔ sè

❍➻♥❤ ✶✿ ◆❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❣✐↔✐ sè ✈ỵ✐ ♥❤✐➵✉ ✶✵✪✳

❼ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ f (t) =




2t

♥➳✉ t ≤ 0.5


2(1 − t)

♥➳✉ t > 0.5
184

❧➔ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ ✈✐✳ ❚❛ ❝â ❦➳t q✉↔ sè

Email:


TNU Journal of Science and Technology

227(02): 178 - 185

Hình 2. Nghiệm chính xác với nghiệm giải số với nhiễu 10%

Lời cảm ơn
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại học Giao thông Vận tải trong đề tài mã số T2021
– CB – 007.
TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES
[1] J. R. Cannon, The One-dimensional Heat Equation. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced
Book Program, Reading, MA, 1984.
[2] N. H. Dinh, Methods for Inverse Heat Conduction Problems. Peter Lang Verlag, Frankfurt/Main, Bern,
New York, Paris, 1998.
[3] M. Hinze, "A variational discretization concept in control constrained optimization: The linearquadratic case," Computat. Optimiz. Appl., vol. 30, pp. 45-61, 2005.
[4] A. I. Prilepko and D. S. Tkachenko, "The Fredholm property and the wellposedness of the inverse
source problem with integral overdetermination," Comput. Math. Math. Phys., vol. 43, pp. 1338-1347,
2003.
[5] N. H. Dinh, "A noncharacteristic Cauchy problem for linear parabolic equations II: A variational

method", Numer. Funct. Anal. Optim., vol. 13, pp. 541-564, 1992.
[6] N. H. Dinh, "A noncharacteristic Cauchy problem for linear parabolic equations III: A variational
method and its approximation schemes," Numer. Funct. Anal. Optim., vol. 13, pp. 565-583, 1992.
[7] F. Troltzsh, Optimal Control of Partial Differential Equations: Theory, Methods
and Applications, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2010.



185

Email: