Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

CHUYÊN ĐỀ:

VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH
LAGRANGE LOẠI II
ĐỂ TÌM QUY LUẬT CỦA VẬT
TRONG CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT

HỒ MINH NHỰT – SƯU TẦM 2021

1


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 3
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI ................................................................................... 3
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ......................................................................... 4
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ........................................................................ 4
IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU ............................................ 4
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU................................................................. 4
VI. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI .......................................................................... 5
VII. PHẠM VI NGHIÊN CỨU ......................................................................... 5
B. NỘI DUNG....................................................................................................... 6
PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT......................................................................... 6
I. TỔNG QUÁT .............................................................................................. 6
1. Những khái niệm về liên kết. Tọa độ suy rộng ..................................... 6
2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo ................................................. 8
3. Công ảo và liên kết lí tưởng .................................................................. 9

II. PHƯƠNG TRÌNH LAGRAGE LOẠI II ................................................. 11
1. Nguyên lý Dalambert – Lagrange ....................................................... 11
2. Phương trình Lagrange loại II ............................................................. 11
III. VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II ĐỂ TÌM
PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT SỐ CƠ HỆ.................... 16
1. Quy trình chung................................................................................... 16
2. Vận dụng cho các cơ hệ điển hình ...................................................... 16
PHẦN 2: VẬN DỤNG GIẢI TOÁN ............................................................... 34
PHẦN 3: BÀI TẬP RÈN LUYỆN................................................................... 52
C. KẾT LUẬN .................................................................................................... 55
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 56

2


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

A. MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chuyển động liên kết hay còn gọi là chuyển động ràng buộc (Constraint
motion) là chuyển động của hệ có từ hai vật trở lên mà giữa chúng có một liên
kết nào đó, để khi một vật chuyển động thì liên kết đó kéo theo các vật cịn lại
chuyển động, hoặc sự có mặt của một vật ràng buộc chuyển động của vật còn
lại.
Các bài tốn có chuyển động liên kết thường là các bài tốn cơ học thuộc loại
khó đối với học sinh và nó hay xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi Vật Lý.
Mặc dù vậy trong các sách giáo khoa lại không đề cập một cách chi tiết nội dung
này, do đó học sinh thường lúng túng khơng có định hướng khi giải quyết các
bài tốn có chuyển động liên kết.
Để khảo sát chuyển động của một hệ vật hầu như chúng ta khá quen thuộc với

việc áp dụng các định luật Newton để giải quyết. Các định luật Newton rất dễ
nhớ, tuy nhiên trong thực tế việc triển khai chúng lại rất khó khăn bởi vì:
o Để khảo sát được một hệ có liên kết thì các lực liên kết phải được tính
tới, trong thực tế đa số các trường hợp lực liên kết lại phức tạp không
dễ dàng tính được.
o Số phương trình cần có cho một cơ hệ n bậc tự do là 3n , cùng với các
phương trình mơ tả các ràng buộc tương ứng với các liên kết.
o Mọi quan hệ trong các phương trình của Newton đều thể hiện dưới
dạng vecto, điều này cũng khiến việc giải các phương trình cũng trở
nên phức tạp hơn.
Nhận thấy được những hạn chế trên, năm 1788, Lagrange đã phát biểu lại cơ
học cổ điển của Newton. Theo Lagrange quỹ đạo chuyển động của hệ vật là
nghiệm của các phương trình Lagrange (có hai dạng là loại I và loại II).

3


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

Ưu điểm của các phương trình này là chúng chỉ hướng tới những đại lượng vô
hướng như động năng, thế năng để mô tả chuyển động của một hệ, điều đó làm
cho bài tốn trở nên đơn giản hơn nhiều.
Từ những lý do trên tôi chọn chuyên đề “ Vận dụng phương trình Lagrange
loại II để tìm quy luật của vật trong chuyển động liên kết”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích của chun đề này là xây dựng quy trình chung nhằm vận dụng
phương trình Lagrange loại II để tìm ra quy luật chuyển động của một số cơ hệ
trong chuyển động liên kết.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Đề tài này thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu sau:

o Nghiên cứu các khái niệm cơ bản về liên kết, liên kết lí tưởng, tọa độ
suy rộng, hàm Lagrange.
o Xây dựng phương trình Lagrange loại II.
o Xây dựng quy trình chung để vận dụng phương trình Lagrange loại II
nhằm tìm ra quy luật chuyển động của một số cơ hệ trong chuyển động
liên kết.
o Vận dụng quy trình đã xây dựng để tìm quy luật chuyển động của một
số cơ hệ liên kết điển hình.
IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu chuyên đề này là ứng dụng phương trình Lagrange loại
II để tìm ra quy luật chuyển động của các cơ hệ.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu lý thuyết về phương trình Lagrange loại II và vận dụng phương
trình Lagrange loại II.
4


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

VI. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài này gồm 3 phần:
o Phần 1: Cơ sở lý thuyết.
o Phần 2. Vận dụng giải toán.
o Phần 3. Bài tập rèn luyện.
VII. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Chuyên đề này chỉ nghiên cứu cho cơ hệ chịu liên kết lí tưởng.

5



Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

B. NỘI DUNG
PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. TỔNG QUÁT
1. Những khái niệm về liên kết. Tọa độ suy rộng
1.1. Số bậc tự do – liên kết
Ta xét một cơ hệ gồm N chất điểm M1 , M 2 , M 3...., M N chuyển động đối với hệ
quy chiếu quán tính. Vị trí của chất điểm M i được xác định bởi bán kính vecto
ri hay ba tọa độ Descarter xi , yi và zi . Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần N

bán kính veto ri , với i  1,2,3,..., N hay tương ứng 3N tọa độ Descarter.
Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi
là số bậc tự do của cơ hệ.
Cơ hệ được gọi là tự do nếu những chất điểm tạo thành cơ hệ có thể chiếm
những vị trí bất kì trong khơng gian và có những vận tốc bất kì. Nói cách khác,
cơ hệ tự do thì vị trí và vân tốc của những chất điểm tạo nên cơ hệ không bị ràng
buộc bởi những điều kiện nào. Số bậc tự do của cơ hệ là 3N .
Trong thực tế ta gặp các cơ hệ không tự do, nghĩa là cơ hệ mà vị trí và vận tốc
bị hạn chế bởi những điều kiện nào đó.
Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ trong
khơng gian gọi là liên kết.
 Ví dụ 1: Cơ hệ gồm hai chất điểm M1 và M 2 nối với nhau bằng một thanh
có độ dài l là một cơ hệ không tự do.
M1


y

O


x



M2

Sáu tọa độ Descarter xác định vị trí của hai chất điểm thõa mãn phương trình

 x2  x1    y2  y1    z2  z1 
2

2

2

 l 2 (1.1)

Chỉ có 5 trong 6 tọa độ Descarter là độc lập. Vậy cơ hệ này có 5 bậc tự do.

6


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

 Ví dụ 2: Cơ hệ gồm hai vật nối với nhau bởi một sợi dây lí tưởng chiều dài

l vắt qua ròng rọc trong mặt thẳng đứng là hệ khơng tự do.
O


x

y

m2

m1

Sáu tọa độ Descarter xác định vị trí của hai vật thõa mãn các phương trình

z1  z2  0 , x1  x2  Const , y2  l  y1 (1.2)
Chỉ có 1 trong 6 tọa độ Descarter là độc lập. Vậy cơ hệ này có 1 bậc tự do.
Các phương trình (1.1), (1.2) được gọi là phương trình liên kết.
1.2. Tọa độ suy rộng
Để khảo sát được cơ hệ ta cần chỉ ra được liên kết đặt lên cơ hệ. Liên kết này
được biểu diễn bởi n phương trình





f r1 , r2 , r3 ,..., rN , t  0 , với   1,2,3,...

Nếu n phương trình này độc lập thì trong số 3N tọa độ Descarter có

s  3N  n tọa độ độc lập.
Muốn xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ cần phải xác định s thông số
độc lập.
Giả sử chúng ta tìm được s thơng số q1, q2 , q3 ,..., qs liên hệ với các vecto ri ,


i  1,2,3,..., N bởi các phương trình
ri  ri  q1 , q2 , q3 ,..., qs , t   0 , i  1,2,3,..., N
Sao cho khi thay vào phương trình trên thì các phương trình trở thành đồng
nhất thức





f r1 , r2 , r3 ,..., rN , t  0

7


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

Các thông số q1, q2 , q3 ,..., qs được gọi là tọa độ suy rộng của cơ hệ chịu liên
kết.
 Ví dụ 1: Ta xét chuyển động của một chất điểm trên đường trịn bán kính

R xác định.
y

M

x

O

Đường trịn là liên kết đặt lên chất điểm được biểu diễn bằng phương trình

liên kết
x2  y 2  R2

Số tọa độ độc lập là một. Ta có thể chọn hoặc là x , hoặc là y . Lúc này x
hoặc y được gọi là tọa độ suy rộng.
 Ví dụ 2: Ta xét chuyển động của một thanh rắn, được cố định một đầu.



Vị trí khối tâm của thanh trong q trình chuyển động có thể được xác định
dựa vào góc  . Lúc này  được gọi là tọa độ suy rộng.
2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo
2.1. Dịch chuyển khả dĩ
M

ri

d ri

N

ri  d ri

O

8


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo


Chất điểm M được xác định bởi vecto vị trí ri . Sau một khoảng thời gian vô
cùng bé dt vị trí của chất điểm được xác định bởi ri  d ri .
Tập hợp tất cả các vecto dịch chuyển vô cùng bé d ri được gọi là những dịch
chuyển khả dĩ.
2.2. Dịch chuyển ảo
Giả sử tại thời điểm t , ta lấy hai hệ thống vecto dịch chuyển khả dĩ d ri và
d ri . Hiệu hai vecto d ri và d ri là một vecto vô cùng bé, ta kí hiệu là  ri . Tập

hợp những vecto

 ri  d ri  d ri
gọi là những vecto dịch chuyển ảo.
3. Cơng ảo và liên kết lí tưởng
3.1. Công ảo
Giả sử chất điểm M i chuyển động dưới tác dụng của lực Fi . Nếu chất điểm
này chuyển động tự do thì theo định luật II Newton, ta có
ai 

Fi
, với i  1,2,3.,..., N
mi

Khi có liên kết đặt lên hệ thì gia tốc ai có thể khơng thõa mãn phương trình
liên kết. Điều này là do liên kết đã tác dụng lực lên chất điểm M i , ta gọi lực này
là phản lực liên kết. Kí hiệu phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm M i là Ri .
Lúc này phương trình chuyển động của chất điểm chịu liên kết M i có dạng
mi ai  Fi  Ri , với i  1,2,3,..., N

Công ảo là một đại lượng vật lý được xác định bởi biểu thức


 A   Ri ri    Rix rix  Riy riy  Riy riy 
N

N

i 1

i 1

3.2. Liên kết lí tưởng

9


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

Liên kết được gọi là liên kết lí tưởng nếu tổng công ảo của các phản lực liên
kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo đều bằng 0.
Nghĩa là

 A   Ri ri    Rix rix  Riy riy  Riy riy   0
N

N

i 1

i 1

 Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động trên một mặt phẳng nhẵn (khơng ma

sát) thì phản lực liên kết Ri vng góc với dịch chuyển ảo  ri , nên Ri ri  0 .
R

 ri

 Ví dụ 2: Trong thực tế, một cơ hệ dù phức tạp đến đâu cũng được cấu tạo
từ những cặp vật rắn theo các kiểu sau đây: hai vật rắn liên kết với nhau bằng
thanh rắn, hoặc chuyển động quanh một điểm cố định, hoặc tiếp xúc với nhau
bằng bề mặt của chúng. Một cơ hệ phức tạp như vậy có thể khảo sát như một cơ
hệ chịu những liên kết lí tưởng. Tuy nhiên cũng cần chú ý rằng, trong thực tế
khơng phải mọi liên kết đều là lí tưởng. Ví dụ một vật rắn trượt lên một vật rắn
khác, lúc này phản lực R khơng vng góc với dịch chuyển ảo. Ta có thể phân
tích R thành hai thành phần là N và Fms . Thành phần N vng góc với dịch
chuyển ảo nên N  r  0 , còn thành phần song song với  r ta xem như một lực
hoạt động đã biết. Như vậy tác dụng liên kết khơng lí tưởng bất kì lên cơ hệ
tương đương với liên kết lí tưởng và một lực hoạt động bằng lực ma sát.
R
N

 ri
Fms

10


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

II. PHƯƠNG TRÌNH LAGRAGE LOẠI II
1. Nguyên lý Dalambert – Lagrange
Xét cơ hệ gồm N chất điểm chịu những lực liên kết lí tưởng đặt lên nó,

phương trình chuyển động của chất điểm i trong hệ có dạng



hay mi ai  Fi  Ri

ri

Nhân hai vế phương trình trên cho  ri

 m a  F  r  R  r
i

i

i

i

i

i

Phương trình chuyển động của tất cả các chất điểm trong cơ hệ

  m a  F  r   R  r
N

i 1


N

i

i

i

i

i 1

i

i

N

Vì các liên kết là lí tưởng, theo điều kiện

 R  r  0 , ta được
i 1

i

i

  m a  F  r  0 (2.1)
N


i 1

i

i

i

i

Biểu thức (2.1) được gọi là nguyên lý Dalambert – Lagrange.
Trường hợp riêng, khi hệ ở trạng thái cân bằng ai  0 ta thu được nguyên lý
quan trọng của tĩnh học
N

 F  r  0 (2.2)
i 1

i

i

Phương trình (2.2) được gọi là nguyên lý dịch chuyển ảo.
2. Phương trình Lagrange loại II
Xét cơ hệ gồm N chất điểm, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bằng n
phương trình






f r1 , r2 , r3 ,..., rN , t  0 ,   1,2,3,..., n

Số bậc tự do của cơ hệ là

s  3N  n

11


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

Vị trí của cơ hệ được xác định bởi s tọa độ suy rộng q1, q2 , q3 ,..., qs . Các bán
kính vecto ri là hàm của q1, q2 , q3 ,..., qs và t

ri  ri  q1 , q2 , q3 ,..., qs , t   0 , i  1,2,3,..., N
Xuất phát từ nguyên lý Dalambert – Lagrange (2.1) ta thành lập phương trình
chuyển động của cơ hệ trong hệ tọa độ suy rộng.
Trước tiên ta biểu diễn dịch chuyển ảo  ri qua biến phân của tọa độ suy rộng.
Giả sử có các tọa độ suy rộng
qk  qk  t , 

trong đó t là biến thời gian và  là thông số thực.
Khi   0 , thì qk  qk  t ,0   qk  t  xác định vị trí thực của cơ hệ.
Khi   0 , thì tọa độ suy rộng qk  qk  t ,  xác định vị trí khả dĩ của cơ hệ
phù hợp với liên kết đặt lên nó.
Dạng qk thay đổi khi biến số t không thay đổi nhưng thông số  thay đổi.
Ta định nghĩa biến phân của tọa độ suy rộng  qk  t  là đại lượng được xác
định bằng biểu thức


 qk  t   qk  t ,     qk  t ,  

qk
 (2.3)


Tương tự, ta có biến phân của ri

 ri  ri  t ,     ri  t ,  

 ri



Vì bán kính vecto ri phụ thuộc vào  qua hàm qk  t ,  nên ta có

 ri 

s
s
 ri
 r q
r
   i k    i  qk (2.4)

k 1 qk 
k 1 qk

Đặt biểu thức  ri vào (2.4), ta nhận được
s


 Z
k 1

k

 Qk   qk  0

Trong đó
12


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo
N

Qk   Fi
i 1

N
 ri
r
, Z k   mi ai i , với k  1,2,3,..., s .
qk
qk
i 1

Công nguyên tố của những hoạt lực đối với mọi dịch chuyển ảo bằng
N
 ri
 A   Fi

  Qk qk
qk i 1
i 1
N

Đại lượng Qk được gọi là lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng.
Biến đối Z k về dạng thuận tiện hơn ta được
N

Z k   mi ai
i 1

N
N
 ri
d r r
d N
r
d  r 
  mi i i   mi ri i   mi ri  i  (2.5)
qk i 1
dt qk dt i 1
qk i 1
dt  qk 

Ta biết
ri 

s
d ri  ri

r

  i q j (2.6)
dt t j 1 qk

Từ biểu thức (2.6), ta suy ra
d ri  ri
, với i  1,2,3,..., N ; k  1,2,3,..., s (2.7)

dt qk

Dùng hệ thức (2.6) ta có
s
 ri
 2 ri
 2 ri
d  r 


q j   i  (2.8)
qk tqk j 1 q j qk
dt  qk 

Chú ý đến các hệ thức (2.7) và (2.8) ta có thể viết Z k dưới dạng
N
d N
 ri
r
Z k   mi ri
  mi ri i

dt i 1
qk i 1
qk

Hay

Zk 

d T T

, k  1,2,3,..., s (2.9)
dt qk qk

Trong đó

T

 

1
m ri 2 (2.10)

2

là động năng của hệ
13


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo


Vì các biến phân  qk là độc lập tùy ý khác không nên biểu thức
s

 Z
k 1

k

 Qk   qk  0

chỉ thõa mãn khi tất cả các nhân tử  qk trong biểu thức đó bằng khơng.
Nghĩa là

Z k  Qk  0 hay Z k  Qk
Thay (2.9) vào ta được

d T T

 Qk , với k  1,2,3,..., s (2.11)
dt qk qk
Phương trình (2.11) được gọi là phương trình Lagrange loại II hay phương
trình Lagrange trong tọa độ suy rộng.
Để tìm được phương trình chuyển động của cơ hệ ta chỉ cần giải hệ thống s
phương trình Lagrange loại II.

dqk
d 2 qk
Đại lượng qk 
được gọi là vận tốc suy rộng; đại lượng qk  2 được
dt

dt
gọi là gia tốc suy rộng; đại lượng pk 

T
được gọi là xung lượng suy rộng.
 qk

Nếu hoạt lực Fi tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì ta có

Fi  

U
(2.12)
 ri

Biểu thức lực suy rộng trong trường hợp này có dạng
N
 ri
U  ri
U
(2.13)
Qk   Fi
 

qk
qk
i 1
i 1  ri qk
N


Ta đặt rk  rk  q1 , q2 , q3 ,..., qs , t  thay vào biểu thức của U thì thế năng U chỉ
phụ thuộc vào qk và thời gian t
U  U  q1 , q2 , q3 ,..., qs , t 

Nên

14


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

U
0
qk
Ta có

T  T  U 

qk
qk
Như vậy phương trình (2.11) bây giờ có dạng

d L L

 0 (2.14)
dt qk qk
Trong đó

L  T U
là hàm lagrange của hệ.

Phương trình (2.14) là phương trình Lagrange loại II của hệ trong trường hợp
hoạt lực tác dụng lên cơ hệ là lực thế.
Từ (2.11) và (2.14), ta tổng quát hóa cho trường hợp hệ chịu tác dụng của các
lực thế và không thế thì

d L L

 Qk (2.15)
dt qk qk
Với Qk là lực suy rộng tương ứng bởi các lực chủ động không thế.
Hoặc

d L L

 0 (2.16)
dt qk qk
Với

U    Fdq
là thế năng của các lực thế và không thế.
Từ (2.11), (2.14), (2.15) và (2.16) ta thấy rằng các phương trình Lagrange
loại II khơng chứa các phản lực liên kết và số phương trình đủ để mơ tả chuyển
động của cơ hệ là ít nhất đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ. Đây là ưu điểm nổi
bật của các phương trình Lagrange loại II.
15


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

III. VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II ĐỂ TÌM

PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT SỐ CƠ HỆ
1. Quy trình chung
Từ nội dung lý thuyết trên, để vận dụng phương trình Lagrange loại II trong
việc tìm quy luật chuyển động của các cơ hệ. Tơi đề xuất một quy trình chung
như sau:
o Bước 1: Xác định số bậc tự do của cơ hệ và chọn các tọa độ suy rộng
phù hợp.
o Bước 2: Xác định động năng T của hệ qua các tọa độ suy rộng vừa
chọn.
o Bước 3: Xác định thế năng của hệ qua các tọa độ suy rộng vừa chọn.
Với các lực không thế và các lực thế, thế năng có thể được xác định từ
biểu thức tổng quát

U     A    Fdq
Ở bước này, thay vì tính thế năng, ta có thể tính cơng của các lực hoạt
động từ đó suy ra các lực suy rộng tương ứng. Sử dụng phương trình
Lagrange dạng (2.11).
o Bước 4: Thực hiện các phép tốn đạo hàm để thu được phương trình vi
phân chuyển động.
2. Vận dụng cho các cơ hệ điển hình
2.1. Hệ hai vật liên kết với nhau bằng dây lí tưởng
Bài tốn 1: Hai vật có khối lượng m1 và m2 được nối với nhau bằng sợi dây
mềm, không giãn, chiều dài l vắt qua rịng rọc cố định như hình vẽ. Rịng rọc có
momen qn tính là I , bán kính R .

m2
m1

Xác định phương trình chuyển động của các vật m1 và m2 .
16



Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

 Hướng dẫn:

x
m2
m1

Chọn tọa độ suy rộng là x như hình vẽ. Khi đó vị trí của vật m2 được xác
định bởi l  x .
Ta xây dựng phương trình Lagrange cho cơ hệ.
Động năng của hệ là tổng động năng tịnh tiến của hai vật m1 , m2 và động
năng trong chuyển động quay của ròng rọc

1
1
1
T  m1v12  m2v22  I  2
2
2
2
trong đó

v1  x , v2 
→T

d
v x

l  x    x ,   1 
R R
dt

1
1 I
 m1  m2  x 2  2 x 2
2
2R

Thế năng của hệ
U  m1 gx  m2 g  l  x 

Vậy hàm Lagrange của hệ là

L  T V 

1
1 I
 m1  m2  x 2  2 x 2  m1gx  m2 g l  x 
2
2R

Ta có

L 
I 
d L 
I 
  m1  m2  2  x →

  m1  m2  2  x
x 
R 
dt x 
R 

L
  m1  m2  g
x
17


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

Vậy phương trình chuyển động của hai vật m1 , m2 là

 m1  m2  g
I 

 m1  m2  2  x   m1  m2  g  0 hay x 
I
R 

m1  m2  2
R
Bài tốn 2: Một ống hình trụ bán kính R , trọng lượng P1 được quấn xung
quanh bởi sợi dây. Dây vắt qua ròng rọc cố định O (ròng rọc lí tưởng) rồi nối
với vật nặng A trọng lượng P2 . Vật A trượt trên mặt phẳng ngang với hệ số ma
sát  . Bỏ qua mọi ma sát.
A

P2

B

C


P1

Xác định phương trình chuyển động của các vật.
 Hướng dẫn:
Hệ gồm ống trụ tâm C và vật nặng A . Chuyển động của vật A là chuyển
động tịnh tiến; ống trụ chuyển động song phẳng.
Vậy hệ có hai bậc tự do. Ta chọn tọa độ suy rộng là x và  như hình vẽ.
A

x

P2


P1

B



P1

Xây dựng phương trình Lagrange cho hệ.

Động năng của hệ là tổng động năng chuyển động tịnh tiến của vật A và động
năng chuyển động song phẳng của vật B

18


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

1
P
TA  mv A2  2 x 2
2
2g

1
1
TB  mvO2  I  2
2
2
Ta có
 vB  v A  x

vO  vB   R

→ vO  x   R (phương trình phân bố vận tốc)
→ TB 
T  TA  TB 

P1
I

2
 x  R  2  2
2g
2R

P2 2 P1
I
2
x 
 x  R  2 2
2g
2g
2R

2 2
P1  P2 2 PR
PR

1
1
x 
x 
hay T 
2g
g
g

Thế năng của hệ

 A   P2 x  P1 x  Pa

1  → Qx    P2  P1 và Q  PR
1
Thực hiện các phép toán
T P1  P2
d T P1  P2
PR
PR


x 1  →
x 1 
dt x
x
g
g
g
g
2
2
T PR
d T PR
2 PR
2 PR


1
1
1
1



x
x
→
dt x

g
g
g
g

Phương trình Lagrange cho chuyển động của hệ
P1  P2
PR
x  1     P2  P1
g
g
2P1
PR
  1 x  PR
1
g
g

Từ hai phương trình trên

x

g  P1  2 P2 
P1  2 P2

19


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo



gP2 1  2  
R  P1  2 P2 

2.2. Chuyển động lăn không trượt của vật trên mặt phẳng nghiêng
Bài tốn 1: Một đĩa trịn có khối lượng m , bán kính R chuyển động lăn
khơng trượt trên một mặt phẳng nghiêng góc  như hình vẽ. Biết momen qn
tính của đĩa trịn là I , mặt phẳng nghiêng cố định. Xác định phương trình
chuyển động của vật rắn.



 Hướng dẫn:
x



Chọn tọa độ suy rộng x như hình vẽ.
Ta xây dựng hàm Lagrange cho đĩa.
Động năng của đĩa là tổng động năng chuyển động tịnh tiến và chuyển động
quay

1
1

T  mv 2  I  2
2
2
với v  x và  

v
x
→   , do đó
R
R

1
I 
T   m  2  x2
2
R 
20


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

Thế năng của đĩa
U  mgx sin 

Vậy, hàm Lagrange của hệ là

1
I 
L  T  U   m  2  x 2  mgx sin 
2

R 
Ta có

L 
d L 
I 
I 
 m  2 x →
 m  2 x
dt x 
x 
R 
R 

L
 mg sin 
x
Phương trình chuyển động của đĩa

x

mg sin 
I
m 2
R

Bài tốn 2: Một đĩa trịn có khối lượng m , bán kính R chuyển động lăn
khơng trượt trên một mặt phẳng nghiêng góc  như hình vẽ. Biết momen qn
tính của đĩa trịn là I , mặt phẳng nghiêng không cố định, khối lượng M . Xác
định phương trình chuyển động của đĩa và của mặt phẳng nghiêng.




 Hướng dẫn:

21


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo
s
y

x

O

X



Ta chọn tọa độ suy rộng là X và x như hình vẽ. Ta xây dựng phương trình
Lagrange cho hệ
Động năng của hệ là động năng chuyển động tịnh tiến của mặt phẳng nghiêng
và động năng chuyển động song phẳng của đĩa

1
1
1
TM  MvM2  mvm2  I  2
2

2
2
Trong đó
vM  X ,  

s
R

 x  X  s cos 
 xm  X  s cos 
→ m
→ vm2  X 2  s 2  2cos  Xs

 ym   s sin 
 ym   s sin 

Vậy

T

1
1
I
 M  m  X 2   m  2  s 2  m cos Xs
2
2
R 

Thế năng của hệ


U  mgs sin 
Hàm Lagrange cho hệ

L

1
1
I
 M  m  X 2   m  2  s 2  m cos Xs  mgs sin 
2
2
R 

Ta thực hiện các phép toán

L
d L
  M  m  X  m cos  s →
  M  m  X  m cos  s
X
dt X

22


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

L
0
X


L 
d L 
I 
I 
  m  2  s  m cos  X →
  m  2  s  m cos X
dt x 
s 
R 
R 
L
 mg sin 
s
Phương trình Lagrange cho chuyển động của hệ

 M  m  X  m cos s  0
I 

m


 s  m cos  X  mg sin   0
R2 

Từ hai phương trình trên

X

s


g sin  cos 
I  M  m 

cos 2    m  2 

R  m 2 


M m
g sin 
I  M  m 
m 
2
 m  2 
  cos 
2
R  m 


2.3. Chuyển động của hạt trên một thanh quay
Bài toán 1: Một viên bi B , khối lượng m chuyển động dọc theo một thanh
nhẹ OA đang quay trong mặt phẳng nằm ngang với tốc độ góc  . Bỏ qua mọi
ma sát.
A

m


O


Xác định phương trình chuyển động của viên bi.
 Hướng dẫn:

23


Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo
A

m

r


O

Chọn các tọa độ suy rộng r và  như hình vẽ. Ta xây dựng phương trình
Lagrange cho hệ.
Động năng của hệ là động năng của vật m

1
T  m  r 2  r 2 2 
2
Trong trường hợp này hàm Lagrange chỉ có động năng.
Ta thực hiện các phép toán

T
d T
 mr →

 mr
r
dt r
T
 mr 2
r
d T
T
 mr 2  2mr r
 mr 2 →
dt 


T
0


Phương trình Lagrange cho hệ
r  r 2  0

r  2 r  0
Trường hợp thanh quay với tốc độ góc không đổi     Const và   0

r  r 2  0
Phương trình trên cho ta nghiệm dưới dạng
r  C1et  C2et

Các hằng số C1 và C2 phụ thuộc vào các điều kiện đầu của chuyển động.

24



Hồ Minh Nhựt sưu tầm – gửi Thiên Kỳ tham khảo

Bài tốn 2: Một hạt có thể trượt tự do, khơng ma sát quanh một vịng trịn
bánh kính R . Vịng trịn quay với tốc độ góc  khơng đổi quanh một đường
kính thẳng đứng.


R

m

Xác định phương trình chuyển động của hạt.
 Hướng dẫn:




R

m

Chọn tọa độ suy rộng  như hình vẽ. Ta xây phương phương trình Lagrange
cho hệ.
Động năng của hệ là động năng của vật m

1
T  m  2 R 2 sin 2   R 2 2 
2

Thế năng của hệ

U  mgR cos
Vậy

1
L  m  2 R 2 sin 2   R 2 2   mgR cos 
2
Ta thực hiện các phép toán
25